具有正初值的非线性热方程的变号自相似解

我们考虑 ${\mathbb R}^N$ 上的非线性热方程 $u_t - \Delta u = |u|^\alpha u$，其中 $\alpha >0$ 且 $N\ge 1$。我们证明，在 $0 < \alpha <\frac {4} {N-2}$ 范围内，对于每个 $\mu >0$，Cauchy 问题在初值 $u_0 (x)= \mu |x|^{-\frac {2} {\alpha }}$ 下存在无穷多个变号自相似解。该构造基于对相关反演轮廓方程的分析。特别地，我们针对已知不存在任何局部非负解的正初值，构造了（变号）自相似解。