非线性 Choquard 方程的正解与变号解

我们考虑问题 $-\Delta u + W(x)u = ((1/{|x|^{\alpha}} * |u|^{p}) |u|^{p-2}u, u \in H_{0}^{1}(\Omega)$，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 中的外部区域，$N\geq3,$ $\alpha \in(0,N)$，$p\in[2,(2N-\alpha)/(N-2)$，$W$ 连续，$\inf_{\mathbb{R}^{N}}W>0,$ 且当 $|x| \to \infty$ 时 $W(x)$ 趋于一个正常数。在关于 $\Omega$ 和 $W$ 的对称性假设（允许有限对称性）以及关于 $W$ 在无穷远处衰减的某些假设下，我们建立了该问题具有小能量的正解和多个变号解的存在性。