具有持续奇点的非线性热方程变号解

我们研究非线性热方程 $\partial _t u = \Delta u + |u|^\alpha u$ 在 ${\mathbb R}^N$（$N\ge 3$）上、且 $\frac {2} {N-2} < \alpha <\alpha _0$（其中 $\alpha _0=\frac {4} {N-4+2\sqrt{ N-1 } }\in (\frac {2} {N-2}, \frac {4} {N-2})$）的变号解的存在性，这些解在一段时间区间上于 $x=0$ 处奇异。特别地，对于可任意大的某些 $\mu >0$，我们证明：对任意 $u_0 \in \mathrm{L} ^\infty _{\mathrm{loc}} ({\mathbb R}^N \setminus \{ 0\})$，其在无穷远处有界且在 $0$ 的邻域内等于 $\mu |x|^{- \frac {2} {\alpha }}$，存在以 $u_0$ 为初值的非线性热方程的时间局部解 $u$，该解变号、在无穷远处有界，并且在原点具有奇性 $\beta |x|^{- \frac {2} {\alpha }}$，其意义为对 $t>0$，当 $|x| \to 0$ 时 $|x|^{\frac {2} {\alpha }} u(t,x) \to \beta$，其中 $\beta = \frac {2} {\alpha } ( N -2 - \frac {2} {\alpha } )$。这些解一般既非定常也非自相似。