二维非线性热方程的变号稳态解与爆破

考虑 $R^2$ 中单位球上的非线性热方程 $v_t-\Delta v=|v|^{p-1}v$，带有 Dirichlet 边界条件。设 $u_{p,K}$ 为具有固定数量 $K$ 个节点区域的径向对称变号稳态解。我们证明，如果 $|\lambda-1|>0$ 足够小且 $p$ 足够大，则以 $\lambda u_{p,K}$ 为初值的方程解会在有限时间内爆破。该证明基于对 $u_{p,K}$ 的渐近行为以及线性化算子 $L= -\Delta - p |u_{p,K}|^{p-1}$ 的分析。为了证明这一点，我们考虑线性化算子 $L= -\Delta - p|u_p|^{p-1}$，并研究其第一特征值及其第一归一化特征函数在 $p$ 较大时的行为。