基于Hodge结构变分的Hitchin与Calabi-Yau可积系统

一个复可积系统在其基的Zariski开且稠密子集上决定一个复环面族。该族转而给出一个权为$\pm 1$的整Hodge结构变分。在本文中，我们研究这一过程的逆过程。从权为$\pm 1$的整Hodge结构变分出发，我们给出一个判据，判断其相伴的复环面族何时携带拉格朗日结构，即何时可以被赋予可积系统的结构。这种针对（复可积系统的光滑部分）的层论方法使我们能够应用Hodge理论与层论中的有力工具来研究复可积系统。我们通过证明对于任意单伴随或单连通复李群$G$，Hitchin系统的零度分量在相应Hitchin基的Zariski开且稠密子集上同构于一个非紧Calabi-Yau可积系统，来例证这一视角的有用性。特别地，我们重新获得了先前已知的当$G$具有ADE型Dynkin图时的结果，并将其推广到剩余的Dynkin类型$\mathrm{B}_k$、$\mathrm{C}_k$、$\mathrm{F}_4$和$\mathrm{G}_2$。