Lie dialgebras、规范理论与可积模型的Lagrangian多形

Lagrangian多形提供了描述可积层次的变分框架。本论文提出了两种系统性构造Lagrangian单形式的方法，涵盖有限维可积层次的情况，从而解决了Lagrangian多形理论中的一个核心开放问题。第一种方法基于Lie dialgebras理论，将经典r矩阵的概念纳入Lagrangian单形式中，产生驻留于coadjoint轨道上的Lagrangian单形式。我们证明了将Lagrangian单形式的闭合关系与Hamiltonian的Poisson不变性以及Euler-Lagrange方程中的双零点之间的重要结构关系。第二种方法将Lagrangian单形式的概念扩展到规范理论的框架中，推导了与任意基数韦尔strass表面相关的Hitchin系统的变分表述。我们显示，这一描述对应于经典3维holomorphic拓扑BF理论中的Lagrangian单形式，后者耦合着所谓类型A和类型B缺陷。值得注意的是，这在经典层面上明确地将3维holomorphic拓扑BF理论与Hitchin系统相联系。进一步地，我们推导了描述Hitchin系统的Lax方程层次的统一行为，其中使用可鞭长的Lax矩阵。作为这两种方法的应用，我们还获得了众多著名可积模型层次的显式Lagrangian单形式。