Calogero-Moser 类系统的拉格朗日 1 形式结构

我们考虑的是关于 Calogero-Moser(CM) 类型长程模型的拉格朗日 1 形式结构的变分原理。多形变分原理涉及对场变量以及对应于多时间空间中时间曲线变形的独立变量之间的变分。随之而来的广义欧拉-拉格朗日(gEL)方程组包括一组多时间 EL 方程，以及来自所谓“外星导数”和“角方程”的约束，这些约束反映了不同坐标曲线上变分如何匹配。闭合关系，即拉格朗日 1 形式在 EL 系统解上的闭合性，保证了在时间曲线变形下作用函数的平稳性，从而保证了相应 gEL 系统的多维一致性。我们将其作为拉格朗日层面的可积性标准应用于 CM 类型模型的动力学形式的 ans"atze，不指定势能。我们证明，从该可积性标准可以推导出三种系统——Calogero-Moser、Ruijsenaars-Schneider 和 Goldfish 系统的一般椭圆形式。我们将分析扩展到相关的哈密顿正式化，通过 Noether 定理并应用 Legendre 变换。因此，多形变分原理导致一组广义哈密顿方程，描述上述椭圆模型的哈密顿交换流。