量子变分原理与量子多形式结构：二次拉格朗日量的情形

现代可积性概念之一是多维一致性（MDC），它在经典意义上意味着对于同一个因变量，存在多个独立变量下的（对易）动力学流共存。这一性质对连续动力系统以及定义在离散时空中的离散系统均成立。离散情形中最简单的例子或许是线性四边形格点方程，它可以看作是著名的格点势Korteweg-de Vries（KdV）方程的线性化版本。尽管是线性的，MDC性质在系统参数方面是非平凡的。此类方程及其非线性类似物的拉格朗日方面引出了拉格朗日多形式结构的概念，其中拉格朗日量不再是标量函数（或体积形式），而是多维独立变量空间中的真正形式。该变分原理不仅涉及对场变量的变分，还涉及对独立变量空间中几何的变分。本文中，我们通过量子传播子（或等价地，费曼路径积分）来考虑这一新变分原理的量子类比。在二次拉格朗日量的情形下，这些可以通过高斯积分来计算。我们还研究了格点的周期约化，它导致离散多时间动力学对易映射，最简单的例子是离散谐振子，它出人意料地揭示了其背后丰富的可积结构。基于此项研究，我们提出了一个以多形式路径积分表述的新量子变分原理。