拉格朗日偏微分方程可积族的哈密顿结构

许多可积微分方程族允许一种变分描述，称为拉格朗日多重形式或多元拉格朗日结构。该理论中的基本对象不是拉格朗日函数，而是一个微分 $d$-形式，它在任意 $d$ 维子流形上积分。所有此类作用量积分都必须对一个场取驻值，该场才是多元拉格朗日问题的解。在本文中，我们给出一种从偏微分方程可积族的多元拉格朗日表述获得哈密顿结构的步骤。作为前奏，我们回顾了可积常微分方程类似的步骤。我们表明拉格朗日 $d$-形式的外微分与相应哈密顿函数之间的泊松括号密切相关。在常微分方程（拉格朗日1-形式）情形，我们以 Toda 族和开普勒问题为例进行讨论。作为偏微分方程（拉格朗日2-形式）情形的例子，我们给出了势 Korteweg-de Vries 族、Schwarzian Korteweg-de Vries 族以及 Boussinesq 族。