离散多重调和函数作为线性多重拉格朗日系统的解

多重拉格朗日系统是具有多维相容性性质的变分系统。这一概念植根于多重调和函数理论、统计力学中的 Z 不变模型、追溯至 Noether 的变分对称性理论以及离散可积系统理论。一个 $d$ 维多重拉格朗日问题可描述如下：给定 $m$ 维空间（$m > d$）上的一个 $d$-形式 $L$，其系数依赖于 $m$ 个独立变量的函数 $u$（称为场），寻找那些使得任意 $m$ 维空间中的 $d$ 维流形 $\Sigma$ 的作用泛函 $S_\Sigma=\int_\Sigma L$ 取得临界点的场 $u$。我们研究了离散二维线性多重拉格朗日系统，即具有二次拉格朗日量 $L$ 的系统。该作用是 Dirichlet 能量的离散类比，其解被称为离散多重调和函数。我们对拉格朗日量依赖于对角线的线性多重拉格朗日系统进行了分类，它们由星 - 三角映射的推广所描述。文中还考虑了更一般的二次拉格朗日量的例子。