半离散拉格朗日 2-形式与 Toda 层级

我们提出了可积微分-差分方程（半离散可积系统）的变分理论。这是对以“拉格朗日多重形式”和“Pluri-Lagrangian 系统”为名的思想的自然推广，这些思想此前已在全离散和全连续情形中建立。这些思想的主要特征是在单个变分原理中捕获一个交换方程层级。我们用以说明拉格朗日多重形式新半离散理论的主要例子是 Toda 格。该常微分方程描述了具有最近邻相互作用的粒子一维格在连续时间中的演化。它是一个可积常微分方程层级的一部分，其中每个方程都包含对一个连续变量的导数和若干格平移。我们将使用拉格朗日多重形式理论推导 Toda 层级连续变量中的偏微分方程，这些方程不涉及任何格平移。作为第二个例子，我们简要讨论了与 Volterra 格相关的半离散势 KdV 方程。