Noether-Lefschetz locus 与变分 Hodge 猜想的特例

对于固定整数 $d$，我们研究 $\mathbb{P}^{2n+1}$ 中满足 $H^{2n}(X,\mathbb{Q}) \cap H^{n,n}(X,\mathbb{C}) \not= \mathbb{Q}$ 的 $d$ 次超曲面 $X$ 的轨迹。我们将此轨迹称为\textit{Noether-Lefschetz locus}。该轨迹的任何不可约分支局部上都是一个 Hodge 轨迹。因此，我们看到对该轨迹的研究与变分 Hodge 猜想密切相关。在本文中，我们证明了与 $\mathbb{P}^{2n+1}$ 中余维数为 $n+1$ 且次数小于 $d$ 的完全交子概形的上同调类相对应的 Hodge 轨迹满足变分 Hodge 猜想。有趣之处在于，我们使用交换代数技术来证明这一陈述（在经过来自 Hodge 理论的某些识别之后）。在 $n=1$ 的情况下，我们使用类似的方法来刻画余维数小于或等于 $3d$ 的 Noether-Lefschetz locus 的所有非既约分支。