关于 $R[\alpha]$ 的整闭性

设 $R$ 为 Dedekind 环，$K$ 为其商域，$L=K(\alpha)$ 为由首项不可约多项式 $f(x)\in R[x]$ 定义的 $K$ 的有限域扩张。我们给出 Dedekind 判据的一个简易版本，在计算上改进了文献中已知的那些版本。我们进一步利用该结果，在 $f(x)=x^n-a$ 时给出 $R[\alpha]$ 整闭性的一个充分条件。当 $R$ 为数域的整数环时，我们给出其成立充分必要条件，在两种情形下均推广并改进了该方向上的一些已知结果。还给出了一些突出例子。