在有限整元集合上整值的多项式环

设 $D$ 为商域为 $K$ 的整环，$\Omega$ 为 $D$ 的有限子集。McQuillan 证明了 $K[X]$ 中在 $\Omega$ 上取整数值的多项式环 ${\rm Int}(\Omega,D)$（即满足 $f(\Omega)\subset D$ 的 $f\in K[X]$）是 Pr"ufer 域当且仅当 $D$ 是 Pr"ufer 域。在 $D$ 为整闭的进一步假设下，我们通过考虑 $D$-代数 $A$ 的有限集 $S$（其中 $A$ 作为 $D$-模是有限生成且无挠的）以及在 $S$ 上取整数值的环 ${\rm Int}_K(S,A)$（即像落在 $A$ 中的 $K$ 上多项式）来推广他的结果。我们证明了 ${\rm Int}_K(S,A)$ 的整闭包等于 ${\rm Int}(\Omega_S,D_F)$ 到 $K[X]$ 的收缩，其中 $\Omega_S$ 是包含在 $K$ 的代数闭包 $\bar K$ 中的 $D$ 上整元的某个有限子集，$D_F$ 是 $D$ 在 $F=K(\Omega_S)$ 中的整闭包。此外，${\rm Int}_K(S,A)$ 的整闭包是 Pr"ufer 域当且仅当 $D$ 是 Pr"ufer 域。该结果是通过对形如 $D[X]+p(X)K[X]$ 的回拉（pullback）的研究获得的，其中 $p(X)$ 是 $D$ 上的首一非常数多项式：我们证明了此类回拉的整闭包等于 $K$ 上在 $p(X)$ 于 $\bar K$ 中的根集 $\Omega_p$ 上取整数值的多项式环。