有界次数代数整数集上的整值多项式

设 $K$ 为次数 $n$ 的数域，其整数环为 $O_K$。借助 Gilmer 关于数域整数环中多项式稠密子集的判据，我们证明：若 $h\in K[X]$ 将 $O_K$ 中每个次数为 $n$ 的元素映为代数整数，则 $h(X)$ 在 $O_K$ 上为整值多项式，即 $h(O_K)\subset O_K$。若考虑所有次数为 $n$ 的代数整数构成的集合及多项式 $f\in\mathbb{Q}[X]$，类似性质成立：若对每个次数为 $n$ 的代数整数 $\alpha$，$f(\alpha)$ 在 $\mathbb{Z}$ 上为整数，则对每个次数小于 $n$ 的代数整数 $\beta$，$f(\beta)$ 也在 $\mathbb{Z}$ 上为整数。第二个结果通过证明如下事实建立：在矩阵集 $M_n(\mathbb{Z})$ 上取整值的 $\mathbb{Q}[X]$ 中多项式环的整闭包，等于在次数等于 $n$ 的代数整数集上的整值多项式环。