整数值多项式环的非平凡性

设 $S$ 为 $\overline{\mathbb Z}$（所有代数整数的环）的子集。若对所有 $s \in S$ 都有 $f(s) \in \overline{\mathbb Z}$，则称 $f \in \mathbb Q[X]$ 在 $S$ 上的整数值为 $\overline{\mathbb Z}$。所有在 $S$ 上整数值的多项式集合 $\text{Int}_{\mathbb Q}(S,\overline{\mathbb Z})$ 形成 $\mathbb Q[X]$ 的子环，包含 $\mathbb Z[X]$。若 $\text{Int}_{\mathbb Q}(S,\overline{\mathbb Z}) = \mathbb Z[X]$，则称其平凡，否则为非平凡。我们给出一系列关于 $S$ 的必要且充分条件，以确保 $\text{Int}_{\mathbb Q}(S,\overline{\mathbb Z})$ 为非平凡。我们的表征涉及 $S$ 相对于固定的 $p$ 价值扩张到 $\overline{\mathbb Q}$ 上的拓扑条件；$S$ 中包含的伪单调序列；ramification 指数和剩余域次数；以及 $S$ 在 $\overline{\mathbb Z}$ 中的多项式闭包。