具有指定分解长度的整体域离散赋值环上的整值多项式

设 $V$ 为整体域 $K$ 的一个赋值环。我们证明，对所有正整数 $k$ 以及 $1 < n_1 \leq \ldots \leq n_k$，存在一个 $V$ 上的整值多项式，即 $\text{Int}(V) = \{ f \in K[X] \mid f(V) \subseteq V \}$ 中的元素，它恰有 $k$ 个本质不同的、分解为 $\text{Int}(V)$ 中不可约元素的因式分解，其长度恰为 $n_1,\ldots,n_k$。事实上，我们证明了更强的结论：即对于每一个具有有限剩余域的离散赋值域 $V$，只要 $V$ 的商域容许一个独立于 $V$ 且其极大理想为主理想或剩余域有限的赋值环，同样的结果成立。若 $V$ 的商域是某个任意域的纯超越扩张，则该性质满足。这在所述情形下解决了 Cahen、Fontana、Frisch 和 Glaz 提出的一个公开问题。