多项式环中的零上理想与类 Pr"ufer 域

设 $D$ 为整环，$X$ 为 $D$ 上的未定元。众所周知：(a) $D$ 是 quasi-Pr"ufer 域（即其整闭包是 Pr"ufer 域）当且仅当 $D[X]$ 中的每个零上理想 $Q$ 都包含一个多项式 $g \in D[X]$，其内容 $\co_D(g) = D$；(b) $D[X]$ 中的零上理想 $Q$ 是极大 $t$-理想当且仅当 $Q$ 包含一个非零多项式 $g \in D[X]$ 且满足 $\co_D(g)^v = D$。利用这些事实，UM$t$-域（即每个零上理想都是极大 $t$-理想的整环）和 quasi-Pr"ufer 域的概念可以自然地推广到半星型运算情形并在统一框架下进行研究。在本文中，给定 Okabe-Matsuda 意义下的半星型运算 $\star$，我们引入了 $\star$-quasi-Pr"ufer 域。我们给出了这些域的若干刻画，并研究了它们与 UM$t$-域和 Pr"ufer $v$-乘域的关系。