多项式环中的零上理想与半星运算

给定整环 $D$ 上的有限型稳定半星运算 $\star$，我们证明可以以一种规范的方式在多项式环 $D[X]$ 上定义一个有限型稳定半星运算 $[\star]$，使得 $D$ 是 $\star$-准 Prüfer 域当且仅当 $D[X]$ 中的每个零上理想都是准 $[\star]$-极大理想。这一结果完成了 Houston-Malik-Mott \cite[Section 2]{hmm} 在星运算背景下发起的研究。此外，我们证明了 $D$ 是 Prüfer $\star$-乘域（ resp.，$\star$-Noether 域；$\star$-Dedekind 域）当且仅当 $D[X]$ 是 Prüfer $[\star]$-乘域（ resp.，$[\star]$-Noether 域；$[\star]$-Dedekind 域）。作为此处引入技术的应用，我们根据多项式环 $D[X]$ 的乘法闭集，获得了整环 $D$ 上有限型 Gabriel-Popescu 局部化系的新解释（\cite{cg} 的问题 45）。