整环的半星-Krull维数与赋值维数
交换代数
2009-09-07 v3
摘要
给定整环D上的一个有限型稳定半星运算⋆，我们证明可以在多项式环D[X]上典范地定义一个有限型稳定半星运算⋆[X]，使得若n := ⋆-dim(D)，则n+1 ≤ ⋆[X]-dim(D[X]) ≤ 2n+1。我们还证明，若D是⋆-Noether整环或Prüfer ⋆-乘法整环，则⋆[X]-dim(D[X]) = ⋆-dim(D) + 1。此外，我们将整环D的半星赋值维数定义为D的⋆-赋值扩环的最大秩，记为⋆-dim_v(D)。我们证明⋆-dim_v(D) = n当且仅当⋆[X₁,...,Xₙ]-dim_v(D[X₁,...,Xₙ]) = 2n，并且若⋆-dim_v(D) < ∞则⋆[X]-dim_v(D[X]) = ⋆-dim_v(D) + 1。一般而言，⋆-dim(D) ≤ ⋆-dim_v(D)，当D是⋆-Noether整环或Prüfer ⋆-乘法整环时等号成立。我们将⋆-Jaffard整环定义为满足⋆-dim(D) < ∞且⋆-dim(D) = ⋆-dim_v(D)的整环D。作为应用，⋆-拟Prüfer整环被刻画为满足如下条件的整环D：D的每个(⋆, ⋆')-链接扩环T都是⋆'-Jaffard整环，其中⋆'是T上的一个有限型稳定半星运算。由此结果可得，一个Krull整环D必定是w_D-Jaffard整环。
引用
@article{arxiv.0809.1305,
title = {Semistar-Krull and Valuative Dimension of Integral Domains},
author = {Parviz Sahandi},
journal= {arXiv preprint arXiv:0809.1305},
year = {2009}
}
备注
Final version: Remark 2.2 change to Ptoposition 2.2 and added Example 4.4