关于由 Krull 的 $\boldsymbol{a.b.}$ 运算定义的几类整环

设 $D$ 是一个具有商域 $K$ 的整环。将 $K$ 的每个非零 $D$-子模 $E$ 映射到 $E^b := \bigcap\{EV \mid V valuation overring of D\}$ 的 $b$-运算是一种半星运算，在环论的许多问题中起着重要作用（例如，如果 $I$ 是 $D$ 中的非零理想，$I^b$ 与其整闭包一致）。在本文的第一部分，我们研究 $b$-Noetherian 整环（即对于 $D$ 的每个非零理想 $I$，都存在 $D$ 的某个有限生成理想 $J$ 使得 $I^b = J^b$）。例如，我们证明 $b$-Noetherian 整环具有 Noetherian 谱，并且如果它是整闭的，则它是 Mori 整环，但具有 Noetherian 谱的整闭 Mori 整环不一定是 $b$-Noetherian 的。我们还刻画了几类特殊的 $b$-Noetherian 整环。在本文的第二部分，我们更一般地研究规范关联于给定半星运算 $\star$ 的有限型 e.a.b. 半星运算 $\star_a$（例如，$b$-运算就是规范关联于恒等运算的有限型 e.a.b. 半星运算）。这些由 Krull、Jaffard、Gilmer 和 Halter-Koch 引入并研究的运算，在 Kronecker 函数环的近期推广中发挥着非常重要的作用。特别是，在本文中，我们对几类具有某些基本运算 $d$、$t$、$w$ 和 $v$ 等于某些规范关联的 e.a.b. 运算 $b$、$t_a$、$w_a$ 和 $v_a$ 的整环进行了分类。