可积闭 Noetherian 域的几何配置

本文完全描述了在 $\mathbb{Z}[X]$ 与 $\mathbb{Q}[X]$ 之间的可积闭 Noetherian 域的集合。通过对这些两个多项式环之间的 Krull 域进行分类，实现了此结果。为此，我们首先描述了 $\mathbb{Q}(X)$ 中落在某个素数 $p \in \mathbb{Z}$ 的 DVRs，通过区分残余域的扩张是代数型还是超越型来进行区分。我们将已知关于此类 valuations 的描述统一起来，考虑 $\mathbb{C}_p$ 中的 ultrametric 球，其中 $\mathbb{C}_p$ 是代数闭包中域 $\mathbb{Q}_p$（$p$ 原数域）的完备域。随后我们研究当这些 DVRs 与 $\mathbb{Q}[X]$ 的交 $R$ 是否为有限特征时，使得 $R$ 为 Krull 域，并最终计算了 $R$ 的 divisor class group。结果显示，这类环由那些同时将有限个 $\mathbb{C}_p$ 的 ultrametric 球映射到其价值域 $\mathbb{O}_p$ 的多项式构成，其中 $p\in\mathbb{Z}$ 范围遍历素数集合。依据 Heinzer 的结果，这些 Krull 域恰好是 $\mathbb{Z}[X]$ 与 $\mathbb{Q}[X]$ 之间的可积闭 Noetherian 域。这种新方法为这类可积闭域提供了几何理解。此外，我们还描述了 $\mathbb{Z}[X]$ 与 $\mathbb{Q}[X]$ 之间的 UFDs。