关于由 $x^{p^r}-m$ 定义的某些纯数域的单生成性

设 $K = \mathbb{Q} (\alpha)$ 是由首一不可约多项式 $F(x) = x^{p^r} -m$ 的复根 $\alpha$ 生成的纯数域，其中 $m \neq 1$ 是无平方因子有理整数，$p$ 为有理素数，$r$ 为正整数。本文研究 $K$ 的单生成性。我们证明：若 {$\nu_p(m^p-m)=1$}，则 $K$ 是单生成的；但若 $r\ge p$ 且 {$\nu_p(m^{p}-m)> p$}，则 $K$ 不是单生成的。文中给出了若干说明性例子。