某些幂合成三项式的单生成性与 k-Wall-Sun-Sun 素数之间的一个联系

我们说，若首一多项式 $f(x)\in {\mathbb Z}[x]$ 次数为 $N$，且 $f(x)$ 在 ${\mathbb Q}$ 上不可约，并且当 $f(\theta)=0$ 时 $\{1,\theta,\theta^2,\ldots, \theta^{N-1}\}$ 构成 ${\mathbb Q}(\theta)$ 整数环的一组基，则称 $f(x)$ 是单生成的。设 $k$ 为正整数，并令 $U_n:=U_n(k,-1)$ 为第一类 Lucas 序列 $\{U_n\}_{n\ge 0}$，定义为 U_0=0,\quad U_1=1\quad \mbox{且} \quad U_n=kU_{n-1}+U_{n-2} \quad \mbox{对 n\ge 2}。$k$-Wall-Sun-Sun 素数是指满足 $U_{\pi_k(p)}\equiv 0 \pmod{p^2}$ 的素数 $p$，其中 $\pi_k(p)$ 是 $\{U_n\}_{n\ge 0}$ 模 $p$ 的周期长度。设若 $k\equiv 1 \pmod{2}$ 则 ${\mathcal D}=k^2+4$，若 $k\equiv 0 \pmod{2}$ 则 ${\mathcal D}=(k/2)^2+1$。假设 $k\not \equiv 0 \pmod{4}$ 且 ${\mathcal D}$ 无平方因子，并令 $h$ 表示 ${\mathbb Q}(\sqrt{{\mathcal D}})$ 的类数。设 $s\ge 1$ 为整数，使得对 $s$ 的每个奇素因子 $p$，都有 ${\mathcal D}$ 不是模 $p$ 的平方且 $\gcd(p,h{\mathcal D})=1$。在本文中，我们证明 $x^{2s^n}-kx^{s^n}-1$ 对所有整数 $n\ge 1$ 是单生成的，当且仅当 $s$ 没有素因子是 $k$-Wall-Sun-Sun 素数。