某些互反五次多项式的单生成性与伽罗瓦群

我们称一个首一多项式 $f(x)\in {\mathbb Z}[x]$（次数为 $N$）是单生成的（monogenic），若 $f(x)$ 在 ${\mathbb Q}$ 上不可约，且 $\{1,\theta,\theta^2,\ldots,\theta^{N-1}\}$ 构成 ${\mathbb Z}_K$（即 $K={\mathbb Q}(\theta)$ 的整数环）的一组基，其中 $f(\theta)=0$。对于 $n\ge 2$，我们定义互反五次多项式（reciprocal quintinomial）${\mathcal F}_{n,A,B}(x):=x^{2^n}+Ax^{3\cdot 2^{n-2}}+Bx^{2^{n-1}}+Ax^{2^{n-2}}+1\in {\mathbb Z}[x]$。本文将我们此前关于 ${\mathcal F}_{n,A,B}(x)$ 单生成性的工作扩展到了此前未处理的特殊情况 $A\equiv B\equiv 1\pmod{4}$。此外，我们在特殊情况下确定了 ${\mathcal F}_{n,A,B}(x)$ 在 ${\mathbb Q}$ 上的伽罗瓦群。