关于某类多项式判别式与指数的研究

设 $f(x) = (x^{2}+1)^{n} - a x^{n} \in \mathbb{Z}[x]$，并假设 $f(x)$ 为不可约多项式。令 $\theta$ 为 $f(x)$ 的根，设 $K= \mathbb{Q}(\theta)$，并记 $\mathbb{Z}_{K}$ 为 $K$ 的整数环。$f$ 的指数，记为 $\operatorname{ind}(f)$，指的是 $\mathbb{Z}[\theta]$ 在 $\mathbb{Z}_{K}$ 中的指数。若 $\operatorname{ind}(f) = 1$，则称多项式 $f(x)$ 为单一生成 (monogenic)。本文显式计算多项式 $f(x)$ 的判别式，然后推导参数 $a$ 与 $n$ 满足 $f(x)$ 为单一生成的充要条件。此外，我们完整描述了导致 $\operatorname{ind}(f)$ 除以的素数。