关于由 $x^7+ax+b$ 定义的数域的公共指数因子

设 $f(x)=x^7+ax+b$ 为一具有整数系数的不可约多项式，$K=\mathbb{Q}(\theta)$ 为由 $f(x)$ 的一个根 $\theta$ 生成的代数数域。本文中，对每一有理素数 $p$，我们的目标是确定仅涉及 $a,~b$ 的充要条件，使得 $p$ 为该域 $K$ 指数的因子。特别地，我们给出关于 $a$ 和 $b$ 的充分条件，使得 $K$ 为非单演的。在一种特殊情形下，我们证明若 $8$ 同时整除 $a\pm1$ 与 $b$，或 $32$ 同时整除 $a+4$ 与 $b$，则 $K$ 为非单演的。我们通过例子说明了我们的结果。