关于四项式定义的四次数域的指数与单本性

考虑由不可约四项式 $F(x)= x^4+ax^3+bx+c \in \Z[x]$ 的根生成的四次数域 $K$。设 $i(K)$ 表示 $K$ 的指数。Engstrom \cite{Engstrom} 证明了 $i(K)=2^u \cdot 3^v$，其中 $u \le 2$ 且 $v \le 1$。在本文中，我们给出了 $a$、$b$ 和 $c$ 使 $i(K)$ 能被 $2$ 或 $3$ 整除的充分条件，并确定了每种情况下 $u$ 和 $v$ 的精确对应值。特别地，当 $i(K) \neq 1$ 时，$K$ 不能是单本的。我们还识别出了由非单本四项式的根生成的单本四次数域的新的无限参数族。我们通过一些计算实例来说明我们的结果。我们的方法基于 Ore 关于素数在数域中分解的定理 \cite{Nar,O}。