(2,3,7) 三角形群的水平 3 子群的 Shimura 曲线及若干其他例子
摘要
我们确定了与 (2,3,7) 三角形群的同余子群 Gamma_0(3)、Gamma_1(3) 相关的 Shimura 模曲线 X_0(3) 以及 Shimura 模曲线 X_1(3) 的 Jacobian。该群已知是算术的,并与四元数代数 A/K 相关联,该代数在 K=Q(\cos 2\pi/7) 的三个实位中的两个处分歧,且在 K 的有限素点处均无分歧。由于有理素数 3 在 K 中惰性,覆盖 X_0(3)/X(1) 的次数为 28, Galois 群为 PSL_2(F_27)。我们通过计算此覆盖确定 X_0(3)。我们发现 X_0(3) 是 Q 上导子为 147=3*7^2 的椭圆曲线,正如 X_1(3) 的 Jacobian J_1(3) 一样;这些曲线通过次数为 (27-1)/2=13 的同源相关联;并且从 J_1(3) 到 X_0(3) 的 13-同源的核由 K-有理点组成。我们解释了这些性质,利用 X_0(3) 在 X(1) 上定位一些复乘(CM)点,并描述了与另一些循环三次域上的四元数代数相关的 Shimura 曲线的类似行为。
引用
@article{arxiv.math/0409020,
title = {Shimura curves for level-3 subgroups of the (2,3,7) triangle group, and some other examples},
author = {Noam D. Elkies},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0409020},
year = {2007}
}
备注
15 pages. This is the published version, considerably improved by the suggestions of the referees, one of whom identified himself as John Voight. Several sentences and formulas that were removed to bring the paper under the 15-page limit for contributed ANTS papers can still be seen as %-commented lines in the TeX source