某些 $\mathbb{Q}$ 上六次域的 $3$-类群生成元

令 $\mathrm{k}=\mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{p},\zeta_3\right)$，其中 $p$ 为满足 $p \equiv 1 \pmod 9$ 的素数，并令 $C_{\mathrm{k},3}$ 为 $\mathrm{k}$ 的类群的 $3$-分量。在 \cite{GERTH3} 中，Frank Gerth III 证明了 Calegari 与 Emerton \cite{Cal-Emer} 提出的一个猜想，该猜想给出了 $C_{\mathrm{k},3}$ 具有 $\operatorname{rank}\,$ 二的充分必要条件。本文的目的是在 $C_{\mathrm{k},3}$ 同构于 $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 时，确定其生成元。