某些 20 次域上的 $5$-类群生成元

设 $\Gamma \,=\, \mathbb{Q}(\sqrt[5]{n})$ 为纯五次域，其中 $n$ 为正整数且不含五次方因子。设 $k_0\,=\,\mathbb{Q}(\zeta_5)$ 为包含本原 $5$ 次单位根 $\zeta_5$ 的分圆域，$k\,=\,\Gamma(\zeta_5)$ 为 $\Gamma$ 的正规闭包。令 $C_{k,5}$ 为 k 的类群的 $5$-分支。本文的目的是确定 $C_{k,5}$ 的生成元，当其类型为 $(5,5)$ 且在 $Gal(k/k_0)\, =\,\langle \sigma\rangle$ 作用下歧义类群的秩为 $1$ 时。