关于某些 20 次纯亚循环域的 capitulation 问题

设 $\Gamma = \mathbb{Q}(\sqrt[5]{n})$ 为纯五次域，其中 $n$ 为正的五次幂自由整数，$k_0 = \mathbb{Q}(\zeta_5)$ 为含本原五次单位根 $\zeta_5$ 的分圆域，$k = \mathbb{Q}(\sqrt[5]{n},\zeta_5)$ 为 $\Gamma$ 的正规闭包。设 $k_5^{(1)}$ 为 $k$ 的 Hilbert $5$-类域，$C_{k,5}$ 为 $k$ 的 $5$-理想类群，$C_{k,5}^{(\sigma)}$ 为在 $Gal(k/k_0) = \langle\sigma\rangle$ 作用下歧义类群。当 $C_{k,5}$ 为 $(5,5)$ 型且 rank $C_{k,5}^{(\sigma)} = 1$ 时，我们研究 $C_{k,5}$ 的 $5$-理想类在 $k_5^{(1)}/k$ 的六个中间扩张中的 capitulation 问题。