类群中 $\ell$-挠率的平均值与高阶矩

我们证明了当 $K$ 取遍某些自然数域自然族、且 $\ell$ 为正整数时，类群 $\ell$-挠率 $\text{Cl}_K[\ell]$ 平均大小的上界。我们改进了几乎所有此类结果中使用的一个关键论证，该论证将 $\text{Cl}_K[\ell]$ 的上界与 $K$ 中大量完全分裂且相对于 $K$ 的判别式为小的素数的存在性联系起来。我们的改进是通过引入一组新的数域专用不变量来替代该论证中的判别式，并结合这些不变量的新计数结果而实现的。这导致文献中考虑的许多数域族 $K$ 的 $\text{Cl}_K[\ell]$ 平均值、有时甚至是高阶矩的上界得到显著改进，例如对所有 $d\in\{2,3,4,5\}$（若 $d=4$ 则非 $D_4$）的 $d$ 次域族。作为 $d=2$ 情形的应用，我们获得了有界判别式的 $D_p$-域个数在素数 $p>3$ 时的最佳上界。