改进类群中 $\ell$-挠的平凡界

对于任意数域 $K$，其判别式绝对值为 $D_K=|\mathrm{Disc}(K)|$，以及任意整数 $\ell \geq 2$，我们改进了关于 $K$ 的类群的 $\ell$-挠子群上常被引用的平凡界 $|\mathrm{Cl}_K[\ell]| \leq |\mathrm{Cl}_K| \ll_{[K:\mathbb{Q}],\varepsilon} D_K^{1/2+\varepsilon}$，证明了 $|\mathrm{Cl}_K[\ell]| = o_{[K:\mathbb{Q}],\ell}(D_K^{1/2})$。事实上，我们得到了一个显式的对数幂节省。这是第一个对所有 $K$ 和所有 $\ell$ 都成立的、超越平凡界的一般性无条件节省。