类群 3-torsion 的一个新的逐点界

Ellenberg--Venkatesh 在 2007 年证明了 $h_3(d) \ll_\epsilon |d|^{1/3 + \epsilon}$，其中 $h_3(d)$ 表示 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的类群的 $3$-torsion 的大小。我们将该界改进为 $h_3(d) \ll_\epsilon |d|^{\kappa + \epsilon}$，其中 $\kappa \approx 0.3193 \cdots$。我们还将我们的方法与 Heath-Brown--Pierce 的工作相结合，给出了实二次域的平均 $\ell$-torsion 的新界。