类群中 $\ell$-挠矩的界

固定一个数域 $k$、整数 $\ell, n \geq 2$ 以及一个素数 $p$。对所有 $r \geq 1$，我们证明了 $k$ 的 $p$ 次扩张与 $k$ 的 $n$ 次 $S_n$-扩张的理想类群中 $\ell$-挠的 $r$ 阶矩的强无条件上界，改进了 Ellenberg、Pierce 和 Wood 的结果以及 Frei 和 Widmer 的 GRH 条件结果。对大的 $r$，我们的结果与 Heath-Brown 和 Pierce 关于 $\mathbb{Q}$ 的虚二次扩张的工作相当。当 $r=1$ 时，即便对于 $\mathbb{Q}$ 的所有二次扩张族，我们的结果也是新的，从而改进了 $\mathbb{Q}$ 上 $p$ 次 $D_p$-扩张（其中 $D_p$ 为 $2p$ 阶二面体群）计数的上界。