大 q 极限下 Selmer 群的平均大小

在本文中，我们证明了关于 $p$-Selmer 群平均大小的 Poonen-Rains 启发式猜想的函数域类比。设 $E$ 为定义在 $\mathbb{Z}[t]$ 上的椭圆曲线。则对任意素数幂 $q$，$E$ 也定义在 $\mathbb{F}_q$ 上。我们证明对于足够大的 $q$，在 $E$ 于 $\mathbb{F}_q[t]$ 上的二次扭曲线族中，$p$-Selmer 群的平均大小对所有但有限个素数 $p$ 等于 $p+1$。即，若我们在 $\mathbb{F}_q[t]$ 中由固定次数 $n$ 的多项式扭转曲线，并令 $n$ 和 $q$ 均趋于无穷，则 $p$-Selmer 群的平均秩收敛于 $p+1$。