Skula和Granville同余式的一个初等证明

设$p\ge 5$为素数，并设$q_p(2):=(2^{p-1}-1)/p$为$p$以2为底的费马商。以下奇妙的同余式由L. Skula猜想并由A. Granville证明：$$q_p(2)^2\equiv -\sum_{k=1}^{p-1}\frac{2^k}{k^2}\pmod{p}.$$ 在本文中，我们通过完全初等的数论论证建立了上述同余式。