Markoff 单射猜想的 $q$-类似成立

Markoff 三元组的元素由 Christoffel 词定义的某些矩阵乘积的系数给出,而长期未决的 Markoff 单射猜想(亦称唯一性猜想)等价于在 Christoffel 词上的单射性。近期提出了这些矩阵乘积的一个 $q$-类似,我们证明该 $q$-类似在 Christoffel 词上的单射性成立。证明基于在 $q = \exp(i\pi/3)$ 处的求值。其他单位根给出了关于原问题的一些信息,原问题对应 $q=1$ 的情形。我们还将问题推广到任意词,并给出一大类不具有单射性的词对。