Markoff 模 $p$ 图中特殊点的连通性

有 conjecture 认为 Markoff 方程 $X^2+Y^2+Z^2=3XYZ$ 满足特殊的二次性质：即每个 mod $p$ 解都能提升为整数解。通过研究 Vieta 群作用在 Markoff 方程非零 mod $p$ 解得到的图的连通性，人们已对此 conjecture 取得了一些进展。在本文中，我们利用斐波那契数列的 Pisano 周期结果，获得了针对 $p$ 为使 $p+1$ 拥有较大 2 进制次数的素数时，图中特殊点连通性的显式结果。特别是对于 Mersenne 素数 $p \equiv \pm 2 \,(\text{mod}\, 5)$，我们证明了在模 $p$ 下固定的特殊点 $(1, 1, 1)$ 位于已知连通的图组件中。