Markoff三元组模$p$提升的界

2016年，Bourgain、Gamburd与Sarnak证明了强逼近（Strong Approximation）在大多数情况下对Markoff曲面成立。即对于大多数素数$p$，方程$X_1^2+X_2^2+X_3^2=3X_1X_2X_3$的模$p$解可由整数解覆盖。本文中，我们通过分析Markoff模$p$图中沿路径的增长，给出了Markoff曲面模$p$点提升的上界。我们的第一个上界遵循Bourgain、Gamburd与Sarnak论文中给出的算法，其构造的路径可能较长但点的增长相对缓慢。第二个上界考虑这些图中长度较短但可能有较大增长的路径。随后我们提供了数值证据与启发式论证，说明这些界如何可能被改进。