模曲线平方上的高度

我们开发了一种策略，用于用曲线水平多项式函数从上界限定模曲线取值于数域的有理点的高度。我们的主要技术工具来自模曲线和雅可比簇的有效 Arakelov 描述。然后我们在以下特定情形中实现了该方案：若 $p$ 是一个不太小的素数，令 $X_0 (p )$ 为定义在 $\bf Q$ 上的水平 $p$ 的经典模曲线。假设 Brumer 关于 $J_0 (p)$ 的 winding quotients 维数的猜想成立。我们证明存在一个函数 $b(p)=O(p^{5} \log p )$（仅依赖于 $p$），使得对于任意二次数域 $K$，$X_0 (p ) (K)$ 中那些不是 $X_0^+ (p) ({\bf Q} )$ 元素提升的点的 $j$-高度小于或等于 $b(p)$。