模曲线 $X_0(p)$ 上的态射与 $6$ 次点

设 $p$ 为素数。我们研究非平凡态射 $f:X_0(p)_\mathbb \to Y$,其中 $Y/\mathbb Q$ 是亏格 $\geq 2$ 的曲线。我们证明,对于 $p<3000$,此类次数 $d>1$ 的态射 $f$ 必同构于商映射 $X_0(p)\to X_0^+(p)$。基于计算与理论证据,我们还猜想这对所有素数 $p$ 均成立。这些结果使我们能够对 $X_0(p)$ 上所有来自到某亏格 $\geq 2$ 曲线的映射且次数 $\leq 25$ 的点进行分类。作为应用,我们得以确定除 $p=193$ 外所有在 $\mathbb Q$ 上具有无穷多个 $6$ 次点的曲线 $X_0(p)$,延续了先前关于 $X_0(N)$ 上小次点的研究。