Markoff-Lagrange 谱与 Pisot 数的乘法类比

Markoff-Lagrange 谱揭示了丢番图逼近的奇异拓扑性质。我们研究模 1 几何级数的渐近性质，并观察到关于集合 $${\mathcal L}(\alpha)=\left\{\left.\limsup_{n\to \infty}\|\xi \alpha^n\|\ \right|\ \xi\in {\mathbb R}\right\}$$ 的显著类似结果，其中 $\|x\|$ 为 $x$ 到最近整数的距离。首先，我们证明对任意 Pisot 数 $\alpha$，${\mathcal L}(\alpha)$ 在 $[0,1/2]$ 中闭。接着我们考虑 $\alpha$ 为大于等于 2 的整数，或大于等于 3 的二次单位的情况。我们证明当 $\alpha$ 为二次数时 ${\mathcal L}(\alpha)$ 包含一个真区间，而当 $\alpha$ 为整数时不包含。我们还确定了最小极限点及其下所有孤立点。在证明过程中，我们重访了 Markoff 所研究的一个刻画双无限平衡词与 Sturm 词的性质。