Markov 谱与 Lagrange 谱在 $3$ 附近的分形维数

Lagrange 谱 $\mathcal{L}$ 与 Markov 谱 $\mathcal{M}$ 是实直线的子集，具有复杂的分形性质，自然出现于丢番图逼近的研究中。已知这些集合与任意半直线的交集的 Hausdorff 维数相同，即对每个 $t \geq 0$ 有 $\mathrm{dim}_{\mathrm{H}}(\mathcal{L} \cap (-\infty, t)) = \mathrm{dim}_{\mathrm{H}}(\mathcal{M} \cap (-\infty, t)):= d(t)$。还已知 $d(3)=0$ 且对每个 $\varepsilon>0$ 有 $d(3+\varepsilon)>0$。我们证明，对足够小的 $\varepsilon > 0$，有近似 $d(3+\varepsilon) = 2\cdot\frac{W(e^{c_0}|\log \varepsilon|)}{|\log \varepsilon|}+\mathrm{O}\left(\frac{\log |\log \varepsilon|}{|\log \varepsilon|^2}\right)$，其中 $W$ 表示 Lambert 函数（即 $f(x)=xe^x$ 的逆）且 $c_0=-\log\log((3+\sqrt{5})/2) \approx 0.0383$。我们还证明该结果对用“合理”函数近似 $d(3+\varepsilon)$ 是最优的，即在如下意义下：若 $F(t)$ 是一个 $C^2$ 函数使得 $d(3+\varepsilon) = F(\varepsilon) + \mathrm{o}\left(\frac{\log |\log \varepsilon|}{|\log \varepsilon|^2}\right)$，则其二阶导数 $F''(t)$ 在 $t$ 趋于 $0$ 时变号无穷多次。