Markov 谱中 Lagrange 谱补集的分形几何

Lagrange 谱与 Markov 谱是数论中与某些丢番图逼近问题相关的经典对象。从几何上看，它们是模曲面中测地线的高度谱。这些对象最早由 A. Markov 于 1879 年研究，但尽管多方努力，Markov 谱 $M$ 中 Lagrange 谱 $L$ 的补集 $M\setminus L$ 的结构仍有些神秘。事实上，G. Freiman（1968 和 1973 年）与 M. Flahive（1977 年）表明 $M\setminus L$ 在 3.11 和 3.29 附近包含无限可数子集，而 T. Cusick 于 1975 年猜想 $M\setminus L$ 的所有元素均 $<\sqrt{12}=3.46\dots$，且这是直至 2017 年我们对 $M\setminus L$ 认知的现状。本文中，我们展示以下两个结果。首先，我们证明 $M\setminus L$ 比此前认为的更丰富，因为它在 3.7 附近包含一个 Hausdorff 维数大于 $1/2$ 的 Cantor 集：特别地，这（否定地）解决了上述 Cusick 猜想。其次，我们表明 $M\setminus L$ 并不很厚：其 Hausdorff 维数严格小于一。