分形渗流的投影维数

分形渗流（Fractal percolation）或 Mandelbrot 渗流是研究最为深入的随机分形族之一。本文研究了这些随机集的某些几何测度论性质（投影的维数与截面的结构）。尽管具有随机性，这些集的几何结构却相当规则。我们的结果表明，若记 $E\subset \mathbb{R}^2$ 为平面上分形渗流的典型实现，则：若 $\dim_{\rm H}E<1$，则对于**所有**直线 $\ell$，$E$ 到 $\ell$ 的正交投影 $E_\ell$ 具有与 $E$ 相同的 Hausdorff 维数；若 $\dim_{\rm H}E>1$，则对于任何在两个坐标上均严格递增的光滑实值函数 $f$，像集 $f(E)$ 包含一个区间。考虑到对于大部分参数域而言，$E$ 几乎必然是一个 Cantor 集（一种*随机尘埃*）（见 \cite{Chayes1988}），第二个结论显得尤为有趣。最后，我们解决了一个相关问题，即关于 $d\geq 2$ 个一维分形渗流的代数和中间隔的存在性。