随机游走、谱隙与分形上的辛钦定理

本工作研究分形上同时丢番图逼近的问题，其动机来自Mahler关于Cantor中间$1/3$集的一个长期未决问题。我们获得了辛钦定理对分形测度完全类比成立的首批实例。我们的结果适用于由$\mathbb{R}^d$（对任意$d\geq 1$）的有理相似变换系统自相似且Hausdorff余维数足够小的分形。在Mahler问题背景下此类测度的具体例子是“中间$1/5$ Cantor集”上的Hausdorff测度；即其5进制展开缺失单一数字的数集。关键的新要素是关于齐次空间$\mathcal{L}_{d+1}$（单模格空间）上某些分形测度的有效等分布定理；这是一个具有独立兴趣的结果。后者通过一种涉及构造具有谱隙并编码生成分形的映射之算术结构的$S$-算术算子的新技术得以建立。作为我们方法的推论，我们证明了与分形测度自然关联的某些随机游走的球平均在$\mathcal{L}_{d+1}$上有效等分布。