自共形集的 Khintchine 定理类比

Khintchine 定理是度量数论中的一个经典结果，它将某些 limsup 集合的 Lebesgue 测度与自然产生的体积和的收敛/发散联系起来。在本文中，我们探讨类似的结果是否对迭代函数系统（IFSs）成立。我们称一个 IFS 是逼近正则的，如果我们观察到 Khintchine 型行为，即使用该 IFS 定义的某些 limsup 集合的大小由自然产生的和的收敛/发散决定。我们证明，如果一个 IFS 由共形映射组成且满足开集条件，则它是逼近正则的。我们引入的发散条件包含了 IFS 内部存在的非均匀性。我们通过一个例子证明这种方法是必要的。我们还提出了 Duffin-Schaeffer 猜想的类比，并证明它对具有全 Hausdorff 维数的集合成立。将我们的结果与 Beresnevich 和 Velani \cite{BerVel} 的质量传递原理相结合，我们证明了一个一般性结果，该结果意味着在我们的 IFS 吸引子内存在例外点。这些点是例外的，因为它们被“极好地逼近”。作为该结果的推论，我们得到了 Mahler 问题的一般解，并证明存在被二次无理数极好逼近的坏逼近数。本文提出的观点是在可能包含重叠的 IFS 的一般背景下引入的。我们相信，从度量数论的角度看待 IFS，可以更深入地了解它们重叠的程度。本文的结果应被视为这一研究的第一步。