度量丢番图逼近中辛钦定理的变体

度量数论中一个基本未解问题——达芬-谢弗猜想——近期在附加发散性假设下取得了新进展。给定非负函数 $\psi: \mathbb{N}\to\mathbb{R}$，记 $W(\psi)$ 为所有满足对无穷多 $a,n$ 有 $|nx-a|<\psi(n)$ 的 $x\in\mathbb{R}$ 的集合。类似地，若额外要求 $a,n$ 互素，则记 $W'(\psi)$。Aistleitner 等人 [1] 证明了若存在 $\varepsilon>0$ 使得 $\sum_{n=2}^\infty\psi(n)\varphi(n)/(n(\log n)^\varepsilon)=\infty$，则 $W'(\psi)$ 具有满勒贝格测度。该结果似乎是所用方法能得到的最佳结论。在假设附加发散性 $\sum_{n=2}^\infty\psi(n)/(\log n)^\varepsilon=\infty$ 下，我们证明 $W(\psi)$ 具有满测度。这也可由 [1] 中的结果推出，但我们认为我们的证明具有独立意义，因其方法与 [1] 完全不同。作为我们方法的进一步应用，我们证明辛钦定理的一个变体在无单调性条件下也成立，只需对 $\psi$ 的支撑的因子集合附加一个条件。